介紹：單純形法是線性規(guī)劃中使用較為廣泛的一種算法。該算法的基本思想是通過(guò)從當(dāng)前基本解出發(fā)，逐步改變基本解中的非基本變量，直到找到最優(yōu)解的過(guò)程。然而，在某些情況下，單純形法可能會(huì)遭遇無(wú)限解的問(wèn)題。本篇文章將重點(diǎn)討論單純形法的無(wú)限解情況及其解決方法。
在單純形法中，如果目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值可以在多個(gè)點(diǎn)上達(dá)到，那么我們就稱(chēng)問(wèn)題具有無(wú)限解。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，一個(gè)問(wèn)題存在無(wú)限解，當(dāng)且僅當(dāng)在最優(yōu)解處，目標(biāo)函數(shù)可以取到它的最優(yōu)值，而且還可以取到其他相同的值。
假設(shè)我們有如下的線性規(guī)劃問(wèn)題：
max z = 2x1 + x2
subject to:
x1 - 2x2 <= 4
3x1 + x2 >= 3
x2 >= 0
該問(wèn)題的圖像如下所示：
![\"無(wú)限解情況圖\"](\"https://i.imgur.com/4f8Sqvx.png\")
可以看出，該問(wèn)題存在無(wú)限解。在最優(yōu)解處，目標(biāo)函數(shù)可以取到2，而它的下界是無(wú)限的。這是因?yàn)樵诩s束條件中存在一條直線3x1+x2=3將可行域分成了兩個(gè)部分，一個(gè)部分中的最優(yōu)解為（2，0），而另一個(gè)部分沒(méi)有最優(yōu)解。
現(xiàn)在，我們來(lái)討論如何判斷一個(gè)問(wèn)題是否存在無(wú)限解。
通過(guò)觀察問(wèn)題的圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：
綜上可知，如果能夠找到一個(gè)等值線與可行域邊重合，或者在可行域內(nèi)存在一個(gè)無(wú)窮的線段上每一點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)等值相等，那么該問(wèn)題就存在無(wú)限解。
單純形法的常規(guī)操作是通過(guò)從當(dāng)前基本解中選擇一個(gè)非基本變量進(jìn)行入基操作，然后通過(guò)離基操作計(jì)算新的基本解。當(dāng)然，如果進(jìn)入的非基本變量對(duì)應(yīng)的列是單純形表中最后一行的系數(shù)全都小于等于0，那么該問(wèn)題就不存在最優(yōu)解。
在處理無(wú)限解問(wèn)題時(shí)，我們需要采取一些特殊的措施。一種方法是我們可以在單純形法的基礎(chǔ)上，增加一些額外的約束來(lái)限制可行域，使其不包含無(wú)限解。
比如，在上面的例子中，我們可以添加以下約束：
x1 <= 5
該約束可以用來(lái)限制可行域，使其僅由頂點(diǎn)組成。此時(shí)，解的集合為{(0,0),(0,2),(5,0)}. 對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值分別為0,2和10。在這個(gè)集合中，我們可以找到最優(yōu)解以及目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值的唯一點(diǎn)（5，0）。
另一種方法是我們可以采用另外一種線性規(guī)劃算法，如內(nèi)點(diǎn)法等。
在單純形法中，無(wú)限解是一個(gè)比較特殊的現(xiàn)象。除了以上介紹的限制可行域或者采用其他算法的方式，若在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中遇到了無(wú)限解問(wèn)題，還可以與業(yè)務(wù)方進(jìn)行溝通和協(xié)商，重新定義約束條件，使得單純形法能夠求解，或該問(wèn)題得到解決，滿(mǎn)足業(yè)務(wù)需求。
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