最困難的高三數(shù)學(xué)題：100道挑戰(zhàn)

第一部分：代數(shù)研究

問題1：$\\mathrm{a},\\mathrm,\\mathrm{c}$為正整數(shù)，證明$\\mathrm{abc}=\\mathrm{8}(\\mathrm{a}+\\mathrm+\\mathrm{c})$的三元組（$\\mathrm{a}$，$\\mathrm$，$\\mathrm{c}$）至少存在一組。

答案1：設(shè)$\\mathrm{a}\\leq\\mathrm\\leq\\mathrm{c}$，則$\\mathrm{abc}\\leq\\mathrm{c}^3$，$\\mathrm{8}(\\mathrm{a}+\\mathrm+\\mathrm{c})\\geq\\mathrm{24}\\sqrt[3]{\\mathrm{abc}}$。由此可得$\\mathrm{c}^3\\geq\\mathrm{24}\\sqrt[3]{\\mathrm{abc}}$，即$\\mathrm{c}^6\\geq\\mathrm{2}^{10}\\mathrm{abc}$，由于$\\mathrm{c}\\geq\\mathrm{3}$，因此$\\mathrm{abc}\\leq\\mathrm{81}$，我們只需枚舉即可得到結(jié)果。

問題2：已知$\\mathrm{a}$，$\\mathrm$，$\\mathrm{c}$均是正整數(shù)且$\\mathrm{a}+\\mathrm+\\mathrm{c}=100$，求滿足$\\mathrm{abc}$最大的一組$\\mathrm{a}$，$\\mathrm$，$\\mathrm{c}$的值。

答案2：設(shè)$\\mathrm{a}\\leq\\mathrm\\leq\\mathrm{c}$，根據(jù)均值不等式有$\\dfrac{\\mathrm{a}+\\mathrm+\\mathrm{c}}{3}\\geq\\sqrt[3]{\\mathrm{abc}}$，代入條件可得$\\sqrt[3]{\\mathrm{abc}}\\leq\\dfrac{\\mathrm{100}}{3}$。由于$\\mathrm{abc}$是整數(shù)，因此$\\mathrm{a}$，$\\mathrm$，$\\mathrm{c}$中至少有一個(gè)為$\\dfrac{99}{3}=33$，又因?yàn)槿叩闹凳窍嗟然蛳噜彽?，因?\\mathrm{a}=33$，$\\mathrm=33$或$\\mathrm{34}$，$\\mathrm{c}=33$或$\\mathrm{32}$。不難發(fā)現(xiàn)$\\mathrm{abc}$最大的情況為$\\mathrm{a}=33$，$\\mathrm=33$，$\\mathrm{c}=34$，$\\mathrm{abc}=\\mathrm{37338}$。

第二部分：幾何研究

問題3：如圖，在$\\Delta\\mathrm{ABC}$中，點(diǎn)$\\mathrm{D}$在$\\mathrm{BC}$邊上，$\\mathrm{E}$在$\\mathrm{AC}$邊上，$\\mathrm{F}$在$\\mathrm{AB}$邊上，$\\mathrm{AD}$、$\\mathrm{BE}$、$\\mathrm{CF}$交于同一點(diǎn)$\\mathrm{G}$，且有$\\dfrac{\\mathrm{BG}}{\\mathrm{GC}}=\\dfrac{\\mathrm{CE}}{\\mathrm{EA}}=\\dfrac{\\mathrm{AF}}{\\mathrm{FB}}$。證明：$\\prod\\dfrac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}}=\\prod\\dfrac{\\mathrm{CE}}{\\mathrm{EA}}=1$。

答案3：由$\\dfrac{\\mathrm{BG}}{\\mathrm{GC}}=\\dfrac{\\mathrm{CE}}{\\mathrm{EA}}$，可得$\\dfrac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}}=\\dfrac{\\mathrm{AG}}{\\mathrm{GB}}$，$\\dfrac{\\mathrm{CE}}{\\mathrm{EA}}=\\dfrac{\\mathrm{CG}}{\\mathrm{GE}}$，同理有$\\dfrac{\\mathrm{AF}}{\\mathrm{FB}}=\\dfrac{\\mathrm{AE}}{\\mathrm{EC}}$，$\\dfrac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}}=\\dfrac{\\mathrm{BE}}{\\mathrm{EA}}$，$\\dfrac{\\mathrm{CE}}{\\mathrm{EA}}=\\dfrac{\\mathrm{CF}}{\\mathrm{FA}}$。因此$\\prod\\dfrac{\\mathrm{BD}}{\\mathrm{DC}}=\\dfrac{\\mathrm{AG}}{\\mathrm{GB}}\\cdot\\dfrac{\\mathrm{BE}}{\\mathrm{EA}}\\cdot\\dfrac{\\mathrm{CE}}{\\mathrm{EA}}=\\mathrm{1}$，$\\prod\\dfrac{\\mathrm{CE}}{\\mathrm{EA}}=\\dfrac{\\mathrm{CG}}{\\mathrm{GE}}\\cdot\\dfrac{\\mathrm{AE}}{\\mathrm{EC}}\\cdot\\dfrac{\\mathrm{CF}}{\\mathrm{FA}}=\\mathrm{1}$。

問題4：已知$\\mathrm{AB}$是$\\mathrm{Rt}\riangle\\mathrm{ABC}$的斜邊，$\\mathrm{AH}$為$\\mathrm{BC}$上的高，$\\mathrm{AD}$為$\\mathrm{BC}$上的中線，$\\mathrm{M}$為$\\mathrm{AD}$的中點(diǎn)，$\\mathrm{N}$為$\\mathrm{AC}$上任意一點(diǎn)，$\\mathrm{BM}$交$\\mathrm{HN}$于點(diǎn)$\\mathrm{P}$。證明：$\\angle\\mathrm{BPH}=\\angle\\mathrm{CPA}$。

答案4：$\\because\\mathrm{BM}\\parallel\\mathrm{AD}$，$\herefore\\angle\\mathrm{BPH}=\\angle\\mathrm{PHM}$，又$\\because\\mathrm{HN}\\parallel\\mathrm{AC}$，$\herefore\\angle\\mathrm{CPA}=\\angle\\mathrm{MPN}$?，F(xiàn)在只需證明$\\angle\\mathrm{PHM}=\\angle\\mathrm{MPN}$即可。因?yàn)?\\mathrm{AH}\\cdot\\mathrm{HH}_{1}=\\mathrm{BH}\\cdot\\mathrm{HC}=\\mathrm{DH}\\cdot\\mathrm{HA}$，$\herefore\\mathrm{AH}\\cdot\\mathrm{HD}=\\mathrm{HH}_{1}\\cdot\\mathrm{HA}$，因此$\\dfrac{\\mathrm{HD}}{\\mathrm{HA}}=\\dfrac{\\mathrm{HH}_{1}}{\\mathrm{HA}}=\\dfrac{\\mathrm{MA}}{\\mathrm{MN}}$。又因?yàn)?\\angle\\mathrm{HKM}=\\angle\\mathrm{AND}$，$\\angle\\mathrm{KNH}=\\angle\\mathrm{ANH}$，因此$\\mathrm{Rt}\riangle\\mathrm{AMN}\\sim\\mathrm{Rt}\riangle\\mathrm{HNP}$，$\herefore\\angle\\mathrm{MPN}=\\angle\\mathrm{MHN}$，$\herefore\\angle\\mathrm{PHM}=\\angle\\mathrm{MPN}$，證畢。

第三部分：概率研究

問題5：有一張長度為$\\mathrm{8}$厘米，寬度為$\\mathrm{6}$厘米的矩形紙片，現(xiàn)將其對角線剪開并移動得到如下三角形。求這個(gè)三角形的面積不大于矩形面積的概率。

答案5：設(shè)三角形的底邊長為$\\mathrm{x}$，則三角形的高為$\\sqrt{\\mathrm{16}-\\mathrm{x}}$。根據(jù)題意得$\\mathrm{x}\\leq\\dfrac{\\mathrm{6}\\sqrt{\\mathrm{5}}}{\\mathrm{5}}$，因此這個(gè)三角形的面積不大于矩形面積的概率為$\\dfrac{[\riangle\\mathrm{ABC}]}{[\\mathrm{ABCD}]}=\\dfrac{\\frac{1}{2}\\cdot\\mathrm{x}\\cdot\\sqrt{\\mathrm{16}-\\mathrm{x}}}{\\mathrm{48}}=\\dfrac{\\mathrm{x}\\sqrt{\\mathrm{16}-\\mathrm{x}}}{\\mathrm{96}}\\approx0.400$。

問題6：$\\mathrm{ABCD}$是一個(gè)面積為$\\mathrm{1}$的正方形，點(diǎn)$\\mathrm{E}$、$\\mathrm{F}$分別在$\\mathrm{BC}$、$\\mathrm{CD}$上，滿足$\\dfrac{\\mathrm{AE}}{\\mathrm{BE}}+\\dfrac{\\mathrm{CF}}{\\mathrm{DF}}=\\mathrm{1}$。求$\\mathrm{EF}$所在線段上的點(diǎn)的面積不大于$\\dfrac{\\sqrt{\\mathrm{2}}}{2}$的概率。

答案6：設(shè)$\\mathrm{EF}$與$\\mathrm{AD}$的交點(diǎn)為$\\mathrm{G}$，則$\\dfrac{\\mathrm{AG}}{\\mathrm{GD}}=\\dfrac{\\mathrm{BF}}{\\mathrm{DE}}$，又因?yàn)?\\mathrm{BF}+\\mathrm{DE}=\\mathrm{1}$，因此$\\dfrac{\\mathrm{BF}}{\\mathrm{DE}}=\\dfrac{\\mathrm{1}-\\mathrm{DE}}{\\mathrm{DE}}$，代入可得$\\dfrac{\\mathrm{AG}}{\\mathrm{GD}}=\\dfrac{\\mathrm{DE}^2}{\\mathrm{1}-\\mathrm{DE}}=\\dfrac{\\mathrm{y}^2}{\\mathrm{1-y}}$，其中$\\mathrm{y}=\\mathrm{DE}$。不難求得$\\mathrm{y}$的取值范圍為$\\left[0,\\dfrac{\\sqrt{\\mathrm{2}}-1}{2}\\right]$。因此$\\mathrm{G}$所在的線段就是一條長為$\\dfrac{\\sqrt{\\mathrm{2}}-1}{2}$的線段，所求概率即為$\\dfrac{\\frac{1}{2}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{2}-1}{2}}{1}=\\dfrac{\\sqrt{\\mathrm{2}}-1}{4}\\approx0.207$。

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